Universidad de Manchester

El Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester busca encontrar un estudiante de doctorado en Teoría de la Probabilidad para trabajar bajo la supervisión del Dr. Sebastian Andrés en un proyecto de investigación sobre caminatas aleatorias en entornos aleatorios y objetos probabilísticos o analíticos relacionados.

Desde la década de 1960, las desigualdades de Harnack han tenido una gran influencia en la interacción de la teoría de la probabilidad y las ecuaciones diferenciales parciales, que forman una parte fascinante de las matemáticas, vea el libro de Bass para obtener más detalles sobre esa. Las desigualdades de Harnack proporcionan control sobre las oscilaciones e implican la regularidad de Hölder de las funciones armónicas. También juegan un papel importante en la teoría de la probabilidad porque las probabilidades de transición (o granos de calor) de los procesos de Markov, como las caminatas aleatorias y las difusiones, son soluciones fundamentales de la ecuación de calor asociada. En este proyecto estudiaremos las desigualdades de Harnack en gráficos y las caminatas aleatorias asociadas. Un objetivo será transferir la llamada técnica Krylov-Safonov al entorno discreto de un gráfico para deducir las desigualdades parabólicas de Harnack para ciertos operadores discretos de forma de divergencia con coeficientes posiblemente ilimitados. Las posibles instrucciones para la investigación incluyen operadores para caminatas aleatorias con medida de velocidad general o para caminatas aleatorias con salas de largo alcance.

El candidato exitoso habrá completado (o casi completado) una maestría en Matemáticas (o campo estrechamente relacionado) y habrá demostrado una capacidad para producir investigación matemática. Se dará prioridad a los candidatos con un conjunto de habilidades avanzadas en teoría de probabilidad, análisis PDE u otros campos relacionados.

Los candidatos preseleccionados serán invitados a ser entrevistados por un pequeño panel a través de Zoom, que tendrá lugar poco después de la fecha límite de solicitud. Durante la entrevista buscamos comprender su motivación, aptitud y conocimiento actual. Haremos preguntas para descubrir estas cosas, incluidas algunas preguntas técnicas matemáticas sobre los temas que ha cubierto.

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El Departamento de Matemáticas de la Universidad de Manchester busca encontrar un estudiante de doctorado en Teoría de la Probabilidad para trabajar bajo la supervisión del Dr. Sebastian Andrés en un proyecto de investigación sobre caminatas aleatorias en entornos aleatorios y objetos probabilísticos o analíticos relacionados.

De la ley de grandes números (LLN) sabemos que el promedio de una gran colección de i..i.d. variables aleatorias convergen casi seguramente a sus expectativas. El teorema ergódico clásico es una generalización del LLN para variables aleatorias correlacionadas que satisfacen ciertas condiciones (deben ser estacionarias y ergódicas). Esto también se puede extender a dimensiones superiores, lo que significa que también podemos considerar variables ergódicas aleatorias en los sitios de la red d-dimensional y tomar promedios de variables aleatorias en cubos grandes, que luego convergen casi seguramente a un límite determinista. Dos posibles direcciones para la investigación incluyen:

1) Estudie la tasa de convergencia en el teorema ergódico sobre redes en dimensiones superiores. Esto requerirá los llamados supuestos de mezcla adicionales. En una dimensión, tales resultados ya se han mostrado.

2) Por el teorema de Cramer, la probabilidad de que el promedio de una gran colección de i..i.d. variables aleatorias (con bonitas propiedades de integrabilidad) se desvían de sus convergentes medios exponencialmente rápido a cero. Esto se llama un principio de gran desviación. Extienda el teorema de Cramer a la configuración de variables aleatorias ergódicas en redes d-dimensionales en condiciones de mezcla.

Hay muchos libros muy buenos y notas de conferencias sobre teoría ergódica básica (por ejemplo, el capítulo 9 del libro de Kallenberg sobre el petróleo) y grandes desviaciones, para que los métodos básicos se puedan aprender bastante rápido, por lo tanto, sería posible que los estudiantes interesados trabajen en nuevos problemas en breve en sus estudios de doctorado.

El candidato exitoso habrá completado (o casi completado) una maestría en Matemáticas (o campo estrechamente relacionado) y habrá demostrado una capacidad para producir investigación matemática. Se dará prioridad a los candidatos con un conjunto de habilidades avanzadas en teoría de probabilidad, análisis PDE u otros campos relacionados.

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