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El objetivo de este proyecto es diseñar métodos espectrales dispersos para un conjunto de geometrías descritas por curvas y superficies algebraicas. El supervisor del proyecto y sus colaboradores han construido recientemente nuevas funciones de base polinómica ortogonal (OP) en una clase de curvas algebraicas en 1D con un algoritmo estable que tiene complejidad lineal [2,3]. Su metodología puede extenderse para construir OP en regiones en 2D delimitadas por la misma clase de curvas algebraicas y sus superficies asociadas de revolución en 3D. Estos OP se utilizarán en este proyecto para construir representaciones de conversión de matriz escasa (cambio de base) operadores de multiplicación y diferenciación, así como transformaciones basadas en cuadratura. Estas matrices y transformaciones dispersas se utilizarán para diseñar métodos espectrales dispersos en las regiones mencionadas anteriormente en 2D y 3D, que se implementarán en el lenguaje de programación Julia de código abierto. Los métodos espectrales resultantes se probarán en problemas de modelos que surgen en acústica y mecánica de fluidos (p. Ej., Problemas de Laplace y Helmholtz). En última instancia, el objetivo es extender estos métodos espectrales a métodos de elementos espectrales dispersos para aplicaciones computacionalmente desafiantes en predicción numérica del clima, propagación de ondas acústicas y elásticas e imágenes médicas.